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刚体力学

admin

质心、运动定理

体系、动量定理

刚体、简谐振动

刚体运动的描述刚体的定义

任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型）刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置不改变。

自由度

完全描述运动所需的独立坐标数。

质点的直线运动，自由度 =1。

质点的一般运动，自由度 =3。

N 个质点的一般运动，自由度 =3N。

刚体，需要确定三个点。第一个点 3 个自由度，第二个点间距确定，形成一个球面，两个自由度，第三个点轨迹形成一个圆，一个自由度。因此需要 6 个自由度。

刚体的运动形式

平动 (translation) 三个自由度。

转动 (rotation) 定轴转动、定点转动

定轴转动 运动过程中各质元均做圆周运动，中心都在一条固定的直线（转轴上）。一个自由度，选定参考方向，利用夹角 θ 即可确定刚体的位置。

定点转动 转轴方向两个自由度，转轴角度一个自由度。

平面平行运动 分解为平动 (2)+转动 (1) 类似于平面上的陀螺。汽车里的行星齿轮。

一般运动 6 个自由度。

处理定轴转动的物理基础：

M=dLdt刚体的定轴转动定理刚体所受的力矩 只有垂直于转轴的外力分量才会产生沿转轴方向的力矩 Mz，而平行于转轴的外力分量会被抵消，为 0。

设第 i 个质元受外力 Fi，并且假定 Fi 垂直于转轴，得到刚体所受的关于定轴的合力矩：

Mz=∑iMiz=∑iriFisin⁡θi刚体定轴转动的角动量

L=∑iLi=∑i(Ri×Δmivi)得到

Li=Ri⋅Δmivi⇒Liz=Lisin⁡φi=Ri⋅Δmivisin⁡φ1=ri⋅Δmivi对整个刚体：

Lz=∑iLiz=∑iriΔmivi=(∑iΔmiri2)ωJ:=∑iΔmiri2称为刚体对转轴z的转动惯量Lz=Jω称为刚体对转轴 z 的角动量。

刚体定轴转动定律

由质点系的角动量定理，

M=dLdt对刚体的定轴转动，有

Mz=dLzdt得到

M=d(Jω)dt=Jdωdt=Jα∫t0tMdt=Jω−J0ω0称为角冲量。

阿特伍德机

整体的角动量

(m1g−m2g)R=d(L1+L2+L3)dt=d(m1vR+m2vR+Jω)dt=m1Ra+m2Ra+JaR⏟β得到了 a。

当 m1=m2 ，角动量守恒。假设滑轮向 1 物体的方向转动，那么

m2v2+(−m1v1−Jω)=0打击中心问题

质心运动定律分量式：

{Ft=F+Nx=mact=m(l2α)Fn=Ny−mg=macn=m(l2ω2)≈0而 α=M/J，得到 M=Fl0,J=13ml2，因此

Nx=ml2Fl013ml2−F=(3l02l−1)F当 l0<23l 时，Nx<0。

当 l0=23l 时，Nx=0。

当 l0>23l，Nx=0。

打击中心：使得支反力为 0。如果在打击中心，可以用水平方向动量守恒。

取质元为圆环，则

dm=σ⋅dS=mπR2⋅2πrdr质元所受摩擦为：

df=−μdmg那么总体摩擦力的力矩为：

M=∫0Rrdf=23μmgR经过多少时间停止：因为 M 是常数。

t=MJ=4μg3R转过的角度：

α=ω0/tφ=ω0−12αt2=3Rω028μg

刚体的转动惯量定义

J:=∑iΔmiri2J:=∫r2dm其中 ri 是 Δmi 到转轴的垂直距离。

刚体为分立的质点组成时，用求和，为质量连续体时，用积分。

可以看出，刚体的转动惯量只和刚体本身的性质和转轴的位置有关。

均匀圆环

J=∫r2dm=∫R2dm=mR2均匀圆盘

Jc=∫r2dm=∫r2(σ⏟面密度dS⏟增加dr的面积)=∫0Rr2σ(2πrdr)=∫0R2σπr3dr=2πσR44=2πR2σR22=12mR2均匀细棒绕中心

利用

dm=mldx得到

J=∫x2⏟dm到转轴的垂直距离dm=∫−l2l2mlx2dx=112ml2问：

如果前面是 l/3 后面是 2l/3，改变积分上下限。

如果是斜着摆放，和转轴夹角为 θ，改变 r2=x2sin2⁡θ。

均匀细棒绕一端

积分下限变为 0，积分上限为 l，得到

J=∫0lmlx2dx=13ml2也可以利用平行轴定理，J=Jc+m(l2)2=13ml2.

均匀球体对直径的转动惯量

分解为若干圆盘。

利用圆盘转动惯量的公式，代入

ρ=m43πR3J=12mR2=12ρVR2dJ=12ρπ(Rsin⁡θ)2dz(Rsin⁡θ)2想要找到 dz 和 dθ 的关系，得到

z=Rcos⁡θ两边求微分，得到

dz=Rd(cos⁡θ)因此，整体进行积分，得到

J=∫dJ=12ρπR5∫0π(sin⁡θ)4d(cos⁡θ)=12ρπR5∫0π(cos4⁡θ−2cos2⁡θ+1)d(cos⁡θ)=12ρπR5(15t5−23t3+t)|−11=25mR2也可以使用球面坐标变换。

均匀球壳对直径

JC=2∫0π/2m4πR2⋅2πRsin⁡θRdθ⋅Rsin⁡θ=23mR2圆环以直径为轴

12mR2圆盘以直径为轴

14mR2平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对 通过质心 的平行转轴的转动惯量 Jc 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴间距离 d 的平方。

J=Jc+md2证明：

J=∑iΔmirio′2=∑iΔmiric2+md2−2d∑iΔmiric=Jc+md2垂直轴定理垂直轴定理只适用于薄板

Jz=∑iΔmiri2=∑iΔmi(xi2+yi2)=Jy+JxJz=Jx+Jy可以算出圆盘以直径为轴的转动惯量。

M=Jdωdtmgl6cos⁡θ=19ml2dωdt进行替换，得到

ω=dθdt⇒dt=dθω得到

∫0ωωdω=∫0π23g2lcos⁡θdθ刚体定轴转动的角动量守恒定律M=d(Jω)dt当 M=0 时，有

d(Jω)dt=0即 Jω=J0ω0=const。

定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。

适用于刚体，非刚体和物体系。

角动量守恒的情况。

力过转轴。

力矩均不相等，但是可以抵消。

角动量守恒的情况

J,ω 都不变，所以 L=Jω=const。

J,ω 都变化，但是为常数，如花样滑冰。

刚体组角动量守恒。若刚体由几部分组成，且绕同一轴转动。

刚体（J 不变）的角动量守恒 如直立旋转陀螺不倒。

非刚体（J 可变）的角动量守恒 如芭蕾舞。

物体系的角动量守恒

若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统（对共同转轴）的总角动量守恒： (角动量可在刚体组内部通过内力作用传递)

∑iJiωi=const如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。

系统角动量守恒，得到

J0ω0=Jω其中转动惯量

J0=12m1R2J=J0+m2(ut)2得到

ω=ω01+2m2u2m1R2t2转过角度需要积分：

φ=∫0t0ωdt

利用系统角动量守恒，得到

mv02l3=−mv022l3+m(2l3)2ω+2m(l3)2ω

m2vl=13m1l2⋅ω−m2v′l角动量守恒，但是系统总动量不守恒。

刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的转动动能Ek=∑i12Δmivi2=12∑iΔmiri2ω2=12Jω2由平行轴定理，可以分解为刚体绕过质心轴转动和随质心的平动。

Ek=12Jcω2+12mvc2力矩的功A=∫φ0φMdφ 类似于

A=∫l0lFdl力矩的功率功率 P=Fv=Mω。

刚体定轴转动的动能定理M=Jdωdt=Jdωdφdφdt=Jωdωdφ刚体的重力势能Ep=mgzc刚体定轴转动的功能原理∫φ0φMdφ=(mgzc+12Jω2)−(mgzc0+12Jω02)设电风扇的功率 P 恒定不变，风叶受到的空气阻力矩与风叶旋转的角速度 ω 成正比，比例系数为 k，并已知风叶转子的总转动惯量为 J，求：

原来静止的电风扇通电后 t 秒时刻的角速度。

阻力矩：−kω.

M=Jdωdt=Pω−kω得到

ωdωP−kω2=1Jdt也就是

d(P−kω2)P−kω2=−2kJdt得到

(ln⁡(P−kω2))|0ω=(−kt/J)|0t得到

ω=Pk(1−e−kt/J)电风扇稳定转动时的角速度：

可以令 t→∞. 得到 ω=P/k

时间常数 τ0=J/k，需要到 5τ0.

均匀细棒 m,l，水平轴 O，开始棒水平，由静止释放，求：

水平位置放手时，棒的质心加速度。

重力作用于质心，得到

α=MzJ=3g2lact=l2α=34gacn=0摆到竖直位置时，棒的角速度。

利用机械能守恒，得到

12Jω2−mgl2=0得到

ω=3gl摆到竖直位置时，轴的支反力。

得到

acn=l2ω2Fy=mg+macn弹性碰撞

Jω1=Jω2+LmvB12Jω12=12Jω22+12mvB2圆锥体 R,h,J，表面有浅槽，令 ω0 转动，小滑块 m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块相对于圆锥体的速度、圆锥体角速度。

对竖直轴的角动量守恒、竖直方向的角动量守恒

因为重力方向始终垂直。

Jω0=(J+mR2)ω小物块的速度可以分解为相对圆锥运动和圆锥体相对地的运动

u+ωR然后叉乘 r，发现 r×u=0。

系统的机械能守恒

小物块的终速度的大小：

u2+ω2R2因为是垂直的。

12Jω02+mgh=12Jω2+12m(u2+ω2R2)回转仪 进动刚体的旋转分为两个成分，高速自转、进动。

Rotation, Precession, Nutation.

当 dL//L，L 的方向不改变，当 dL⊥L，该如何？

回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置。

当 M=0 时，角动量保持恒定，定向回转仪。

陀螺 设陀螺质量为 m，以角速度 ω 自转，力矩为

mgrsin⁡θ还有绕自身旋转的角动量，得到

dL=M⋅dtdL⊥LL 时刻改变方向而大小不变。

进动角速度的计算

几何关系

|dL|=|L|sin⁡θ⋅dφ=Jcωsin⁡θ⋅dφ物理规律，dL=M⋅dt。

|dL|=|M|⋅dt=mgrsin⁡θ⋅dt进动 Precession 角速度

Ω=dφdt=mgrJcωω 越大，Ω 越小。

ω 改变方向，L 朝向向下，Ω 方向相反。

一般来说，转动刚体对参考点的角动量和角速度是不平行的，但是如果刚体轴对称质量分布，那么就是平行的。

刚体的平面运动刚体做平面运动，都可以转化为随质心平动和绕质心轴的转动。

∑Fi=macMc=Jcα分解任意质元的速度：

vi=vc+ω×ri动能也可以进行分解：

Ek=12mvc2+12Jcω2其中 M=Mc+MI，其中 MI 是惯性力矩

MI=∑iri′×(−Δmiac)然后得到 MI=0。

质心运动定理：

ac=FmFd=Jcα⇒α=FdJc=12Fdml2

纯滚动的条件：s=φr,v=ωr。常规方法

mgsin⁡α−Ft=macFN−mgcos⁡α=0Ftr=Jcβ最快求出角加速度：以接触点 P 为参考点

JP=25mr2+mr2=75mr2只用考虑重力的力矩：

β=mgsin⁡α⋅r/JP=5gsin⁡α/7r推出加速度：

ac=rβ得到时间：

Δt=2h/sin⁡αac然后求出速度和角速度。

能不能用机械能守恒：

mgh+0+0=12mv2+12Jcω2=12mv2+15mr2ω2=710mv2因此

v=107ghω=v/r连滚带滑的情况？v≠ωr。

(ω0−Δt⋅β)R=Δt⋅aω0R=Δt(a+βR)Δt=ω0Ra+βRvr=ω0R1+βR/a习题刚体力学总结

M=r×F=rFsin⁡θ M=∫rdf. (如摩擦力等和位矢垂直时)

M=定义dLdt=Jdωdt+ωdJdt=当J恒定Jβ.

运动牵连关系 a=Rβ. 列牛二找关系。

转动惯量

定义 J=∫r2dm.

平行轴定理 J=JC+md2.

垂直轴定理 Jz=Jx+Jy.

对某一点的角动量：分解为质心相对某点的角动量（LC=mvr）和质心系下棒的角动量（L′=Jω）

对某一点角动量守恒：系统所受合外力的力矩为零。

力矩的功 A=∫φ0φMdφ

刚体转动的动能

定轴：Ek=12Jω2，其中 J 是对轴的转动惯量。（运动为定轴转动）

不定轴：Ek=12Jcω2+12mvc2，其中 JC 是对质心的转动惯量。（运动为定轴转动+平动）

列质心运动定理，这里设位矢 r 为转轴 O 和质心 C 间形成的矢量。

垂直于位矢方向 aCy=βlC.

平行于位矢方向 aCx=lCω2.

进动角速度 Ω=mgrCJCω. 其中 rc 是旋转体质心距离接触点的距离；JC 是从旋转体质心看的旋转体的转动惯量，可见 ω 越大，Ω 越小。

无滑滚动的条件 Δs=rΔφ⇒v=rω,a=rβ.

参考点选择：质心，可以让重力、支持力力矩为 0，剩下摩擦力和施加的力，角动量为 JCω。与地面的接触点，只剩下施加的力，若没有外力角动量守恒，角动量为 JCω+mvCR。

常常利用刚体不定轴转动的动能，结合能量守恒求解。